経路積分①：遷移確率の計算・1自由度の量子力学【物理学者が解説】

この記事では、場の量子論の入門として「相関関数の経路積分表示」をご紹介します。

本記事を読むことで
経路積分量子化の手順で、重要な物理量の一つである「遷移確率」を計算する感覚を掴んで頂けると幸いでございます。

本記事を執筆している、私トーマは、物理学者として勤務しています。
そんな私が分かりやすく解説いたします。

導入・計算の準備

演算子の時間依存性

量子力学では、座標演算子 $\hat{q}$ と共役運動量演算子 $\hat{p}$ とを基本要素としています。
これらの演算子は交換関係
$$\begin{eqnarray} \left[ \hat{q}, \hat{p} \right] = i \hbar \tag{1} \label{comu} \end{eqnarray}$$
を満たします。
なお以下では、ディラック定数が $\hbar = 1$ となるような単位系を扱うこととします。

系のハミルトニアン演算子 $\hat{H} \left( \hat{p}, \hat{q} \right)$ はこれらに依存する関数であるとします。

ハイゼンベルグ描像により、座標および共役運動量演算子の時間依存性は
$$\begin{eqnarray} \hat{q}(t) &=& \exp \left( i \hat{H} t \right) \hat{q} \exp \left( -i \hat{H} t \right) \tag{2} \label{qt} \\ \hat{p}(t) &=& \exp \left( i \hat{H} t \right) \hat{p} \exp \left( -i \hat{H} t \right) \tag{3} \label{pt} \end{eqnarray}$$
と書きます。

例えば、時間に依存する座標演算子の固有状態を
$$\begin{eqnarray} \hat{q}(t) \left| q, t \right \rangle = q \left| q, t \right \rangle \tag{4} \label{eigens} \end{eqnarray}$$
のように導入します。
この固有状態は、シュレディンガー描像の固有状態 $\left| q \right \rangle$ と
$$\begin{eqnarray} \left| q, t \right \rangle = \exp \left( i \hat{H} t \right) \left| q \right \rangle \tag{5} \label{shhei} \end{eqnarray}$$
という関係にあります。

共役運動量演算子の固有状態 $\left| p, t \right \rangle$ および $\left| p \right \rangle$ に関しても、式 $\eqref{eigens}$ & $\eqref{shhei}$ と同様に書けます。

固有状態の内積等

シュレディンガー描像の、位置と共役運動量に関する固有状態 $\left| q \right \rangle$ および $\left| p \right \rangle$ に関しての内積 $\left \langle q \right. \left| p \right \rangle$ を計算します。

まず内積 $\left \langle q \right. \left| q^{\prime} \right \rangle$ に、運動量に関する完全系 $\displaystyle{\int dp \left| p \right \rangle \left \langle p \right| } = 1$ を代入すると
$$\begin{eqnarray} \left \langle q \right. \left| q^{\prime} \right \rangle = \int dp \left \langle q \right. \left| p \right \rangle \left \langle p \right. \left| q^{\prime} \right \rangle \tag{6} \label{kanzen} \end{eqnarray}$$
となります。
また $\left \langle q \right. \left| q^{\prime} \right \rangle = \delta(q-q^{\prime})$ なので、フーリエ変換を用いると
$$\begin{eqnarray} \left \langle q \right. \left| q^{\prime} \right \rangle &=& \delta(q-q^{\prime}) \notag \\ &=& \int \frac{dp}{2\pi} \exp \left[ i p \left( q – q^{\prime} \right) \right] \tag{7} \label{fou} \end{eqnarray}$$
となります。

以上のことから、式 $\eqref{kanzen}$ と式 $\eqref{fou}$ を比較することで
$$\begin{eqnarray} \left \langle q \right. \left| p \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(iqp) \tag{8} \label{inner} \end{eqnarray}$$
を得ました。

遷移確率の計算

量子力学における重要な物理量として「遷移確率」があります。
時刻 $t_{i}$ に位置 $x_{i}$ にあった粒子が、時刻 $t_{f}$ に位置 $x_{f}$ に遷移する確率は
$$\begin{eqnarray} \left \langle q_{f} ,t_{f} \right. \left| q_{i}, t_{i} \right \rangle = \left \langle q_{f} \right| \exp \left[ i \hat{H} (t_{f} – t_{i}) \right] \left| q_{i} \right \rangle \tag{9} \label{protra} \end{eqnarray}$$
で与えられます。

ここで、時間間隔を $N$ 等分し
$$\begin{eqnarray} t_{m} = t_{i} + m\epsilon, \hspace{1em} \epsilon = \frac{t_{f} – t_{i}}{N}, \hspace{1em} m = 0, \cdots, N \tag{10} \label{timen} \end{eqnarray}$$
と定義します。
$t_{0} = t_{I}$、$t_{N} = t_{f}$ となります。

さらに、時刻 $t_{m}$ における完全系 $\displaystyle{\int dq_{m} \left| q_{m}, t_{m} \right \rangle \left \langle q_{m} ,t_{m} \right| } = 1$ を式 $\eqref{protra}$ に代入すると、遷移確率は以下のように式変形できます。
$$\begin{eqnarray} && \left \langle q_{f} ,t_{f} \right. \left| q_{i}, t_{i} \right \rangle \notag \\ && \hspace{1em} = \left \langle q_{f} ,t_{f} \right| \left( \int dq_{N-1} \left| q_{N-1}, t_{N-1} \right \rangle \left \langle q_{N-1} ,t_{N-1} \right| \right) \notag \\ && \hspace{7em} \times \cdots \times \left( \int dq_{1} \left| q_{1}, t_{1} \right \rangle \left \langle q_{1} ,t_{1} \right| \right) \left| q_{i}, t_{i} \right \rangle \notag \\ && \hspace{1em}= \int dq_{N-1} \cdots dq_{1} \left \langle q_{N} ,t_{N} \right. \left| q_{N-1}, t_{N-1} \right \rangle \cdots \left \langle q_{1} ,t_{1} \right. \left| q_{0}, t_{0} \right \rangle \tag{11} \label{protra2} \end{eqnarray}$$
と表すことが出来ます。

時刻 $t_{m}$ での要素

式 $\eqref{protra2}$より、時刻 $t_{m}$ での遷移確率の要素は
$$\begin{eqnarray} \left \langle q_{m+1} ,t_{m+1} \right. \left| q_{m}, t_{m} \right \rangle = \left \langle q_{m+1} \right| \exp \left( -i \hat{H} \epsilon \right) \left| q_{m} \right \rangle \tag{12} \label{protram} \end{eqnarray}$$
と書けます。

式 $\eqref{protram}$ に、共役運動量に関する完全系 $\displaystyle{\int d p_{m} \left| p_{m} \right \rangle \left \langle q_{m} \right| } = 1$ を代入すると
$$\begin{eqnarray} \left \langle q_{m+1} ,t_{m+1} \right. \left| q_{m}, t_{m} \right \rangle = \int dp_{m} \left \langle q_{m+1} \right. \left| p_{m} \right \rangle \left \langle p_{m} \right| \exp \left( -i \hat{H} \epsilon \right) \left| q_{m} \right \rangle \tag{13} \label{protram2} \end{eqnarray}$$
となります。

ここで、$i \hat{H} \epsilon = 0$ 近傍でのテイラー級数展開
$$\begin{eqnarray} \exp \left( i \hat{H} \epsilon \right) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\left( i \epsilon \right)^{j}}{j!} \left[ \hat{H} \left( \hat{p}, \hat{q} \right) \right]^{j} \tag{14} \label{taylore} \end{eqnarray}$$
を考え、かつ
$$\begin{eqnarray} \left \langle p_{m} \right| \hat{H} \left( \hat{p}, \hat{q} \right) \left| q_{m} \right \rangle = H \left( p_{m}, q_{m} \right) \left \langle p_{m} \right. \left| q_{m} \right \rangle \tag{15} \label{eigenh} \end{eqnarray}$$
なので、式 $\eqref{inner}$ を利用すると
$$\begin{eqnarray} && \left \langle q_{m+1} ,t_{m+1} \right. \left| q_{m}, t_{m} \right \rangle \notag \\ && \hspace{1em} = \int dp_{m} \exp \left[ -i H \left( p_{m}, q_{m} \right) \epsilon \right] \left \langle q_{m+1} \right. \left| p_{m} \right \rangle \left \langle p_{m} \right. \left| q_{m} \right \rangle \notag \\ && \hspace{1em} = \int \frac{dp_{m}}{2\pi} \exp \left[ ip_{m} \left( q_{m+1} – q_{m} \right) – i H \left( p_{m}, q_{m} \right) \epsilon \right] \tag{16} \label{protram3} \end{eqnarray}$$
を得ます。

$N \rightarrow \infty$ の極限

式 $\eqref{protram3}$ を式 $\eqref{protra2}$ をに代入すると
$$\begin{eqnarray} && \left \langle q_{f} ,t_{f} \right. \left| q_{i}, t_{i} \right \rangle \notag \\ && \hspace{1em} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int \left[ \prod_{m=1}^{N-1} \frac{dp_{m} dq_{m}}{2\pi} \right] \frac{dp_{0}}{2\pi} \exp \left[ i \sum_{m=0}^{N-1} \left[ p_{m} \left( q_{m+1} – q_{m} \right) – H \left( p_{m}, q_{m} \right) \epsilon \right] \right] \\ && \hspace{1em} \equiv \int [ dp dq ] \exp \left[ i \int_{t_{i}}^{t_{f}} dt \left( p \dot{q} -H (p,q) \right) \right] \tag{17} \label{protralim} \end{eqnarray}$$
と書けます。

ここで、離散変数 $(p_{m}, q_{m})$ が連続変数 $(p, q)$ になり、 $\left[ dp dq \right]$ で経路積分の測度を表しています。

ラグランジアンの導入

ここでハミルトニアン演算子が
$$\begin{eqnarray} \hat{H}(\hat{p}, \hat{q}) = \frac{1}{2} \hat{p}^{2} + V \left( \hat{q} \right) \tag{18} \label{hampq} \end{eqnarray}$$
と書けるとすると、式 $\eqref{protralim}$ で $p$ に関するガウス積分を実行して
$$\begin{eqnarray} && \left \langle q_{f} ,t_{f} \right. \left| q_{i}, t_{i} \right \rangle \notag \\ && \hspace{1em} = \int [ dq ] \exp \left[ i \int_{t_{i}}^{t_{f}} dt \left( \frac{1}{2} \dot{q}^{2} – V(q) \right) \right] \notag \\ && \hspace{1em} \equiv \int [ dq ] \exp \left[ i \int_{t_{i}}^{t_{f}} dt L \left( q, \dot{q} \right) \right] \tag{19} \label{prolag} \end{eqnarray}$$
と書けます。
ただしここで、$L \left( q, \dot{q} \right)$ はラグランジアンです。

ここで作用 $S$ を
$$\begin{eqnarray} S \equiv \int_{t_{i}}^{t_{f}} dt L \left( q, \dot{q} \right) \tag{20} \label{actions} \end{eqnarray}$$
と定義すると、遷移確率は$\exp(iS)$ の $q$ 積分の形で表すことが出来ます。

まとめ

1自由度の量子力学の経路積分量子化の手順で
「遷移確率」の計算をまとめました。

本記事をサクッと読んだ上で、以下に示す参考書籍を基にして、手を動かしてより詳細な議論を行なってみて下さい。

参考書籍